中学受験算数の「数の性質」の解き方や考え方を徹底解説！

中学受験における「数の性質」に関する問題は、小学校の学習範囲を大きく超え、中学、高校数学につながる内容まで幅広く扱われています。

単元名通り、「数の性質」を本質的に理解し、数多くの問題に触れていくことがこの単元の攻略には不可欠でしょう。

頻出テーマは、複数ありますが今回は「倍数と約数」にポイントを絞ってお話していきます。

この単元に苦手意識を持つお子さんの多くは、扱っているテーマが倍数なのか、あるいは約数なのか判断がつかずにいることが多いです。

入試問題には、倍数の話をしているので、それが約数がテーマと気づかないようなものもありますが、多くは問題文をしっかり読むことで、その違いは判断できるはずです。

倍数と公倍数

算数であっても基本的な用語は覚える必要があります。

まずは「倍数」「公倍数」「最小公倍数」について確認していきましょう。

約数と公約数

次に、「約数」「公約数」「最大公約数」について確認していきましょう。

基本を確認した上で、いくつか問題を見ていきましょう。

数の性質に関する問題①

9で割ると5あまり、12で割ると8あまる整数を小さい順に左からならべます。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）このような数で小さい方から15番目の数を求めなさい。

（２）このような数のうち、1000に最も近い数を求めなさい。

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（解説）

（１）「～で割ると」ではじまる、よく出題されるパターンの問題です。

• 9で割ると5あまる数→9の倍数∔5または、9の倍数－4
• 12で割ると8あまる→12の倍数∔8または、12の倍数－4

この２の条件は－4の条件がそろっているため、9と12の公倍数（36の倍数）－4で表すことができます。

上の2つの条件を数列にすると32、68、104…と続きます。

15番目の数は、36×15－4＝536　　答え　536

（２）
1000÷36=27…28
27番目と28番目の数を確認しましょう。
36×27-4＝968
36×28-4=1004

28番目の数の方が1000に近くなります。　　答え　1004
※あまりが28で36の半分を超えているので、27番目より28番目の方が1000に近いだろうという感覚も大切です。

数の性質に関する問題②

えんぴつを36本、ボールペンを78本を何人かの子どもに同じ数ずつできるだけ多く分けたところ、えんぴつは6本、ボールペンは3本あまりました。何人の子どもに分けましたか。

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（解説）

あまりなく配ろうとすると
36－6=30（本）…えんぴつ
78ー3=75（本）…ボールペン

30本と75本なら余りが出ずに配りきることができます。
子どもの数は、30と75の公約数であることがわかります。

「公約数は最大公約数の約数」であるため、まずは最大公約数を求めます。

30と75の最大公約数は、15なので15の約数（1，3，5，15）が子どもの人数として考えられます。

ただし、6本と3本のあまりが出るため、子どもの数は6より大きくなります。

よって、15人となります。　　　　　　　　　　　　　　　答え　15人

入試問題にチャレンジ！【2025東京都市大附属】

1から300まで書かれている。

300枚のカードがあり、Aくん、Ｂくん、Ｃくん、Ｄくんが1枚ずつカードを引いたところ、Ａくんの引いたカードに書かれている数とＢくんの引いたカードに書かれている数の最大公約数は16で、最小公倍数は448でした。

またＣくんの引いたカードに書かれている数を11で割ると商とあまりが等しくなりました。

Ｃくんの引いたカードに書かれている数は3けたの数で、A君の引いたカードに書かれている数より大きく、Ｂくんの引いたカードに書かれている数より小さくなりました。

また、4人の引いたカードに書かれている数の平均は141でした。

引いたカードは、元に戻さないものとして、後の問いに答えなさい。

(1） Aくんの引いたカードに書かれている数はいくつですか。

(2）Ｃくんの引いたカードに書かれている数はいくつですか。

(3）Ａくん、Ｂくん、Ｄくんの3人のそれぞれが引いたカードに書かれている数を、ある数で割ったところ、割り切れずあまりが全て等しくなりました。ある数は全部で何通りありますか。

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（解説）

（１）それぞれが引いたカードをA,B,C,Ⅾとします。

ＡとＢの最大公約数が、16なので
Ａ=16×▢、Ｂ=16×△と表すことができます。（▢と△は互いに素）

またＡとＢの最小公倍数が、448なので、16×▢×△＝448と表すことができます。
よって、▢×△＝448÷16より、▢×△=28になります。

問題文より、A＜Ｃ＜Ｂであるから
（▢、△）=（1，28）,（4，7）となり、
（Ａ,B ）=（16、448）または、（64,112）の２通りの組み合わせになります。

ただし、いずれの数も300以下であることから、Ａ=64となります。

（２）Cは11で割ると商と余りが等しい数なので、C=11×◎∔◎=12×◎で表すことができます。（◎は11未満）

また（１）より、Ｂ=112となり、Cは112より小さい数でかつ、112より小さい3けたの整数なので、C=108となります。

（３）4つの数の平均が141であることから、
　　　（64∔112∔108∔Ⅾ）÷4=141
　　　Ⅾ=141×4-64-112-108
　　　 =280となります。

Ａ,B,C,Ⅾをある数で割るとすべてのあまりが等しいとするとある数は、4つの数の差の約数になります。
112-64=48
280-112=168
280-64=216となるので、
48,168,216の最大公約数24の約数とわかります。
24の約数→1,2,3,4,6,8,12,24

ただし、それぞれの数64,112,280の最大公約数が8なので8の約数を除くことなります。
よって、3,6,12,24の4通りになります。　　　　　　　　　答え　4通り

まとめ

上記は、入試でもよく出題されるテーマですが、パターンで覚えるのではなく、本質を理解しながら解き進める力を身に着けていきましょう。

そのために大切なのは、できなかった問題を丁寧に解きなおすことに他なりません。

焦らずじっくりと取り組んでいくことが最も大切です。

モコスタでは授業前に講師に質問出来る時間を毎日設けています。

分からなかった問題は自分から質問して解決していくようにしましょう。