中学受験算数の「組み合わせ」の攻略法|樹形図と公式

今回は、「組み合わせ」についてお話していきます。

安易に計算に頼りがちですが、しくみをきちんと理解した上で、計算を活用していくのが基本となります。

だからこそ、3，4年生で初めて「組み合わせ（場合の数）」を扱うときは、樹形図で考えます。

この時期に正しく樹形図を書けるようにしておくことが、学年が進み、難易度が上がってきたときに大きくいきてくるでしょう。

さて、今回は「組み合わせ」を基本から確認していきます。

「場合の数」はこちら「中学受験算数の「場合の数」|受験における重要単元とその攻略法」でも紹介しております。

まずは例題で確認

チョコ、ガム、クッキー、せんべい、プリンの5種類のおかしと、ジュース、お茶、牛乳、コーラの4種類の飲み物があります。

これについて、次の問いに答えなさい。

（１）おかしから1種類、飲み物から1種類を選ぶとき、選び方は何通りありますか。

（２）おかしから3種類、飲み物から2種類を選ぶとき、選び方は何通りありますか。

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（解説）

（１）
お菓子の選び方は、5種類から1つ選ぶので、5通り。
飲み物の選び方は、4種類から１つ選ぶので、4通り
よって、それぞれが5通りと4通りあるので、5×4=20

答え　20通り

（２）
お菓子で選ぶ3種類を樹形図にしてもいいですが、選ばない2つを決める樹形図を書いても同じことになります。
より効率のいい方法を考えていきましょう。

チョコ㋐、ガム㋑、クッキー㋒、せんべい㋓、プリン㋕とします。
組み合わせの樹形図は、戻らないことが鉄則です。
つまり、㋐-㋑の組み合わせは最初に挙げているので、㋑-㋐は数えません。

このように樹形図で表すことができ、10通りとなります。

飲み物については、選ぶ方を決めても、選ばない方を決めてもどちらも4つから2つを選ぶので、そのまま樹形図にしていきます。
飲み物も同様に記号で整理していきます。
ジュース㋕、お茶㋖、牛乳㋗、コーラ㋘

となり、6通りとわかります。
それぞれに10通り、6通りあるので、
10×6=60

答え　60通り

別解として、組み合わせの求め方には、公式があるので公式を使って解くと、このようになります。

異なるＮ個のものから2個を選ぶ組み合わせの公式

異なるＮ個のものから3個を選ぶ組み合わせ

公式を使うとお菓子の選び方は、

となり、10通り。

飲み物の選び方は、

となり、6通り。

【入試問題にチャレンジ】（2025年普連土学園）

図のように平行な2本の直線上に、上下6個ずつ計12個の点が1㎝間隔に並んでいます。

点の大きさは考えないこととします。

次の問いに答えなさい。

（１）12個の点のうち3個を選んで結び、面積が１㎤ の三角形を作ります。点の選び方は、何通りですか。

（２）12個の点のうち4点を選んで結び、面積が4㎠の四角形を作ります。点の選び方は、何通りありますか。

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（解説）

（１）
下の直線から2点を選び、底辺として三角形を考えます。

底辺の取り方は、㋐、㋑、㋒、㋓、㋔の5通りになります。
それに対する上の直線の頂点の選び方は、6点あるので6通りになります。

よって、5×6＝30通り

同様に底辺を上の直線上で撮った場合も、30通りできるので

30+30=60（通り）

答え　60通り　

（２）
高さが2㎝なので、面積が4㎝とすると上底と下底の和は、4㎝になります。

（パターン１）
◎を底辺にする場合
上底の選び方は、5通り
下底の選び方は、3通りとなるので
3×5=15（通り）

（パターン２）
★を底辺にする場合
上底の選び方は、4通り
下底の選び方は、4通りとなるので
4×4=16（通り）

（パターン３）
◆を底辺にする場合
上底の選び方は、3通り
下底の選び方は、5通りとなるので
3×5=15（通り）

よって、15+16+15=46（通り）

答え　46通り

4年生でも理解できるパターンの入試問題を選んでみました。

この問題をとおして、四角形の面積の公式を確認してみてもいいですね。

まとめ

中学受験算数における「組み合わせ（場合の数）」の攻略法を、樹形図と公式の両面から解説しました。

基本は樹形図の理解：小学3・4年生で初めて「組み合わせ」を扱う際は、樹形図を正しく書く訓練が最も重要です。樹形図を書く際の鉄則として「戻らない」ことを確認しました。

公式の活用：樹形図で仕組みを理解した上で、計算を効率化するために公式を紹介し、例題を通してその使い方を確認しました。

複雑な問題でも、「樹形図で書き出す」「公式で計算する」「図形の性質と組み合わせて考える」というステップで攻略していきましょう。